零点和极点

零点是指使z变换X(z)的值为零的z值，极点是指使X(z)的值为∞的z值。如果X(z)是有理分式，表示为：

$$ X(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{b_0+b_1 z^{-1}+\cdots+b_M z^{-M}}{a_0+a_1 z^{-1}+\cdots+a_N z^{-N}}=\frac{\sum_{k=0}^M b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^N a_k z^{-k}} $$

也可以理解为：

零点:传递函数分子的根
极点:传递函数分母的根

物理意义为，

零点：当系统输入幅度不为零，且输入频率使系统输出为零时，此输入频率值即为零点。
极点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为无穷大（系统稳定性遭到破坏，发生振荡)时，此频率值即为极点。

零极点的影响：

从时间域上，极点和零点会影响二端口网络的瞬时响应（就是大家做仿真时候看的transient）。例如如果有些零极点对会造成电路输出上升下降时间很慢。二端口网络拉普拉斯域输出Vout(s)即输入Vin(s)与传输函数H(s)的乘积：

$$ V_{\text {out }}(s)=H(s) V_{\text {in }}(s)=\sum_{j=1}^m \frac{K_H}{s-p_{j H}}+\sum_{j=1}^n \frac{K_{I N}}{s-p_{j N}} $$

重点关注，零极点对模拟系统的影响。

每过一个极点增益曲线会以-20dB/dec 的斜率下降，每过一个零点增益曲线会以+20dB/dec的斜率上升。
极点频率下该极点相移为 45°，当频率大于该极点频率 10 倍以上时，该极点相移近似达到 90 度。（一个极点最多相移90°）
稳定性可由增益裕度 GM 和相位裕度 PM 表示，增益裕度是说正反馈时环路增益小于1的程度；相位裕度是说环路增益为1时相移远离正反馈的程度，对于相移单调系统，GM和PM一致，GM大则PM大，稳定性好，一般系统稳定要求 45 度~60 度的 PM。可以证明，当次极点在 UGB 以外时(即 UGB 内只包含一个主极点)，此时系统相位裕度大于 45°。

系统的零极点决定了系统的频率特性和稳定性。

系统的稳定性与闭环传递函数的极点有关。如果闭环传递函数的所有极点都在s平面的左半平面，即实部都为负数，那么系统是稳定的。如果有任何一个极点在s平面的右半平面，即实部为正数，那么系统是不稳定的。如果有极点在虚轴上，即实部为0，那么系统是临界稳定的，会发生持续振荡。

只含有左半平面极点的系统才是稳定的，因为这样可以保证系统对任何有界输入都能产生有界输出。如果有右半平面极点，那么系统对某些输入会产生无界输出，即发散。如果有虚轴上的极点，那么系统对某些输入会产生持续振荡，即不收敛。

拉氏变换s与实际频率f理解

所谓的零极点，主要是因为在对信号进行频率分析的时候，需要求解系统的传递函数。然而直接求解过程中，由于微分方程、积分方程等的复杂性，对于系统的分析具有较高的难度。通常的处理方法是对系统的微分方程进行傅里叶变化或拉氏变换（重点理解拉氏变换），拉氏变换将传递函数从时域转换为频率，将实际物理中的频率f转换为s域中的s。即：拉氏变换可以将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，从而简化了求解过程。

实际信号的频率和拉氏变换s中的角频率是有一定关系的。实际信号的频率是指信号或系统在时域上周期性变化的快慢，单位是赫兹（Hz）。拉氏变换s中的角频率是指信号或系统在复频域上旋转的快慢，单位是弧度/秒（rad/s）。两者之间的转换关系是：

ω=2πf

也就是说，当实际信号的频率增加时，对应的角频率也会增加，反之亦然。但是，实际信号的频率只能取正值，而角频率可以取正负值。就是公式的值可以转换，但是f只能有正值，而角频率ω却能有负值，数学符号上的含义是ω取负时，复平面代表s值按照逆时针旋转。当ω绝对值相同，大小相反，代表着物理中相同的频率点。

这是因为拉氏变换s中还有一个衰减因子σ，它决定了信号或系统在复频域上的衰减或增长。当σ为正时，信号或系统是不稳定的，当σ为负时，信号或系统是稳定的。

拉氏变换中的ω和相位θ的关系

拉普拉斯变换中s表达式中的ω和复平面旋转的θ的关系是这样的：

s表达式中的ω表示角频率，它决定了复数在复平面上旋转的速度；复平面旋转的θ表示相位，它决定了复数在复平面上旋转的角度。
一般来说，s表达式可以写成s=σ+jω的形式，其中σ表示衰减因子，jω表示复数的角频率。
当s=jω时，就相当于在复平面上做逆时针旋转，此时相位θ=ωt，也就是说，相位随时间线性增加。

左右半平面零极点的作用效果

左半平面极点稳定理解

理解了拉氏变换s和实际频率的关系后，所谓的左半平面极点，指的是该系统的传递函数中，s的解为负数或者实部为负数的共轭复极点，该系统就可能稳定。

左半平面极点是指在复平面上，实部为负的极点。它们通常与系统的稳定性和因果性有关。根据拉普拉斯变换和z变换的关系，s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内部，所以线性时不变因果稳定的系统，其极点都在s平面的左半平面。

左半平面和右半平面极点的区别是，左半平面极点的实部为负数，右半平面极点的实部为正数。（都是指的拉氏变换中s的解，该解为负数，即为复平面）他们的物理含义是：

左半平面极点对应于系统的衰减模式，右半平面极点对应于系统的发散模式。
左半平面极点会使系统的增益下降和相位滞后，右半平面极点会使系统的增益上升和相位超前。
左半平面极点对系统的频率响应有影响，它们会使增益斜率变化-20dB/dec，相位变化-90°。

只有左半平面极点的系统才能稳定，是因为这样可以保证系统对任何有界输入都能产生有界输出。如果有右半平面极点，那么系统对某些输入会产生无界输出，即发散。如果有虚轴上的极点，那么系统对某些输入会产生持续振荡，即不收敛。

左半平面零点（LHZ）：增益斜率变化+20db/dec 相位变化：零点频率处 +45° 10倍 fz 外+ 90°
右半平面零点（RHZ）：增益斜率变化+20db/dec 相位变化：零点频率处 -45° 10倍 fz 外- 90°
左半平面极点（LHP）：增益斜率变化-20db/dec 相位变化：极点频率处 -45° 10倍 fp 外 -90°
右半平面极点（RHP）：增益斜率变化-20db/dec 相位变化：极点频率处 +45° 10倍 fp 外+90°
右边平面极点出现，由时域分析e^(pt), 可知一定会发散，不管p有多小。

理解右半平面极点造成的不稳定

右半平面极点会使系统的相位提前，并且在高频时增益不会衰减到零，而是趋近于一个常数值。这样就会破坏系统的相位裕度和增益裕度，使系统无法满足奈奎斯特稳定判据，从而引起系统的不稳定性和振荡。

共轭复极点理解

当在解拉氏变换后的传递函数时，有可能会得到s等于共轭复数的结果，或者称之为共轭对。

即，s的解实部相同，虚部互为相反数。例如：

$$ s_1=\sigma+\mathrm{j}\omega,\qquad s_2=\sigma-\mathrm{j}\omega $$

当σ为负数时，该系统稳定；当σ为正数时，该系统发散。

共轭复极点的物理含义和后果取决于具体的应用场景，但一般来说，它们与系统的稳定性、频率响应、带宽、相位等有关。

例如，在电路分析中，共轭复极点可以用来实现带通滤波器，提高系统的选择性和灵敏度。共轭复极点的实部决定了系统的阻尼系数，如果实部为负，系统是稳定的；如果实部为零，系统是临界稳定的；如果实部为正，系统是不稳定的。

共轭复极点的虚部决定了系统的固有频率，也就是滤波器的中心频率。
共轭复极点之间的距离决定了系统的品质因数，也就是滤波器的通带宽度。
共轭复极点对应的传输函数的幅值和相位都是非线性的，随着频率的变化而变化。

共轭复极点会造成系统的振荡现象，振荡的频率由极点的虚部决定，振荡的幅度由极点的实部决定。稳定系统的共轭复极点还会造成电路的过冲，如下图所示：

共轭复极点造成过冲现象

如何避免共轭复极点的出现，主要取决于系统的开环传递函数的特性。一般来说，有以下几种方法可以尝试：

改变系统的增益，使得共轭复极点回到左半平面或者变成实数极点。
改变系统的结构或者参数，使得开环传递函数的分子多项式的次数不小于分母多项式的次数，从而避免出现虚轴上的零点。
在系统中引入滞后或者超前校正网络，使得共轭复极点向左移动或者消除。
在系统中引入滤波器或者衰减器，使得高频信号被削弱或者过滤掉。

单极点系统

单极点系统是一种只有一个极点的线性系统，其传递函数可以表示为

$$ H(s)=\frac{A_0\omega_0}{s+\omega_0} $$

其中，$ A_0 $ 是直流增益，$ \omega_0 $ 是极点频率。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/20918998

一个典型的单极点系统电路如下图所示：

一个nmos和一个resistor，组成了一个基本的common-source amplifier。

暂时忽略Cgs、Cgd等寄生电容造成的高频零极点。这个电路便是一个单极点系统：唯一的极点就在输出Vout那里。(负载电容 $ C_L $和输出端等效电阻形成RC并联谐振无穷大）

该电路的传递函数为：

$$ H(s)=\frac{A_0}{1+\frac{s}{\omega_0}} $$

据此画出该单极点电路的波特图：

单极点系统有以下特性：

在低频时，系统的增益为常数 $ A_0 $，相位为 0°。
在极点频率 $ \omega_0 $ 时，系统的增益下降为 $ \frac{A_0}{\sqrt{2}} $，相位为 -45°。
在高频时，系统的增益随频率增加而下降，速度为 -20dB/十倍频或者 -6dB/倍频，相位趋近于 -90°。
系统的单位增益带宽（UBW）等于 $ \omega_0 A_0 $，即直流增益与极点频率的乘积。

要分析单极点系统，可以使用波特图（Bode plot）来表示系统的幅频特性和相频特性。波特图可以用以下步骤绘制：

将传递函数写成标准形式 $ H(s)=\frac{A_0\omega_0}{s+\omega_0}=\frac{A_0}{1+\frac{s}{\omega_0}} $
计算直流增益 $ A_0 $ 和极点频率 $ \omega_0 $。
在对数坐标轴上绘制幅频曲线，以 dB 为纵轴单位，以 Hz 为横轴单位。在低频时，曲线为水平线，高度为 $ 20\log A_0 $ dB。在高频时，曲线为斜线，斜率为 -20 dB/十倍频。在极点频率处，曲线出现拐点，高度为 $ 20\log \frac{A_0}{\sqrt{2}} $ dB。
在对数坐标轴上绘制相频曲线，以 ° 为纵轴单位，以 Hz 为横轴单位。在低频时，曲线为水平线，高度为 0°。在高频时，曲线也为水平线，高度为 -90°。在极点频率处，曲线出现拐点，高度为 -45°。在极点频率的十分之一和十倍之间，曲线近似为直线，斜率为 -45°/十倍频。

单极点系统的频率响应表达式可以用以下公式表示：

幅度响应 $ |H(j\omega)|=\frac{A_0}{\sqrt{1+(\frac{\omega}{\omega_0})^2}} $
相位响应$ \angle H(j\omega)=-\tan^{-1}(\frac{\omega}{\omega_0}) $

两极点系统

双极点系统是一种有两个极点的线性系统，其传递函数可以表示为

$$ H(s)=\frac{A_0}{\left(1+\frac{s}{\omega_1}\right)\left(1+\frac{s}{\omega_2}\right)} $$

其中，$ A_0 $ 是直流增益，$ \omega_1 $ 和 $ \omega_2 $ 是两个极点频率。

要分析双极点系统，可以使用波特图（Bode plot）来表示系统的幅频特性和相频特性。波特图可以用以下步骤绘制：

将传递函数写成标准形式$ H(s)=\frac{A_0}{(1+\frac{s}{\omega_1})(1+\frac{s}{\omega_2})} $
计算直流增益 $ A_0 $ 和两个极点频率 $ \omega_1 $ 和 $ \omega_2 $。
在对数坐标轴上绘制幅频曲线，以 dB 为纵轴单位，以 Hz 为横轴单位。在低频时，曲线为水平线，高度为 $ 20\log A_0 $ dB。在第一个极点频率 $ \omega_1 $ 时，曲线开始下降，斜率为 -20 dB/十倍频。在第二个极点频率 $ \omega_2 $ 时，曲线的斜率变为 -40 dB/十倍频。在高频时，曲线继续下降，速度为 -40 dB/十倍频。
在对数坐标轴上绘制相频曲线，以 ° 为纵轴单位，以 Hz 为横轴单位。在低频时，曲线为水平线，高度为 0°。在第一个极点频率 $ \omega_1 $ 附近，曲线开始下降，斜率最大为 -45°/十倍频。在第二个极点频率 $ \omega_2 $ 附近，曲线继续下降，斜率最大为 -45°/十倍频。在高频时，曲线也为水平线，高度为 -180°。

双极点系统有以下特性：

系统的增益随着频率的增加而下降，速度取决于两个极点的位置和间距。
系统的相位随着频率的增加而下降，总共下降180°。
系统的稳定性取决于两个极点的位置和间距。如果两个极点很接近，则系统可能出现增益峰值（gain peaking）或振荡（oscillation）。如果两个极点很远，则系统可能更稳定但响应更慢。
系统的单位增益带宽（UBW）等于 $ \sqrt{\omega_1\omega_2}A_0 $，即直流增益与两个极点频率的几何平均值的乘积。

双极点系统的频率响应表达式可以用以下公式表示：

幅度响应 $ |H(j\omega)|=\frac{A_0}{\sqrt{(1-(\frac{\omega}{\omega_1})2)2+(2\xi\frac{\omega}{\omega_n})^2}} $其中 $ \xi=\frac{1}{2}(\frac{\omega_n}{\omega_1}+\frac{\omega_n}{\omega_2}) $ 是阻尼比，$ \omega_n=\sqrt{\omega_1\omega_2} $ 是自然角频率。
相位响应 $ \angle H(j\omega)=-\tan{-1}(\frac{2\xi(\frac{\omega}{\omega_n})}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})2}) $

高阶无源网络极点的判别（时间常数法）

概述

高阶无源网络极点的判别所使用的时间常数法是基于以下原理：

时间常数法是一种利用电路中的电容和电感的时间常数来求解电路极点的方法。
时间常数法的基本思想是将高阶无源网络分解为若干个一阶无源网络，然后分别求出每个一阶网络的时间常数，再将它们组合起来得到高阶网络的特征方程。
时间常数法的优点是可以避免复杂的代数运算，简化了极点的求解过程。
时间常数法的缺点是只适用于无源网络，对于有源网络或者含有互感的网络，需要进行一些变换或者近似才能使用。

基本原理

要对一个系统进行零极点分析，首先要知道单极点系统和两极点系统的基本分析，然后化繁为简，采用单极点近似得到系统的大致频率响应特性。

对于多个极点求传递函数，可以采用时间常数法。

电路极点表达式经过化简后，可以看到一次项系数为时间常数求和，二次项系数为时间常数求积，因此只要得出时间常数，即可直接写出电路的极点表达式。

（具体见模拟设计总结3）

密勒补偿

密勒补偿是一种常用的电路设计技术，用来提高放大器的稳定性和带宽。密勒补偿的原理是在放大器的输入和输出端之间加入一个电容，利用密勒效应，使得输入端的等效电容增大，从而降低第一级放大器的截止频率，同时提高第二级放大器的截止频率，使得两个极点分离，增加相位裕度。

并联电阻

密勒补偿时加入电阻的作用是为了抵消由于密勒电容引入的右半平面零点，这个零点会使得相位提前（指的是相位下降，零点频率处 -45° 10倍 fz 外- 90°），降低相位裕度，甚至导致不稳定。加入电阻后，可以将右半平面零点转移到左半平面，从而改善频率响应。

具体来说，如果密勒电容为，放大器的增益为，则在输入端的等效电容为，在输出端的等效电容为。如果在密勒电容两端并联一个电阻 ，则可以得到输入端和输出端的传输函数：

可以看出，加入电阻后，零点和极点都由正变为负，从右半平面移到左半平面。这样就避免了相位提前，提高了相位裕度。

串联电阻

串联电阻可以降低密勒效应对输入阻抗的影响，因为串联电阻会减小输入端和输出端的增益，从而减小密勒电容的放大倍数。
串联电阻可以改善放大器的频率特性，因为串联电阻会在输入端形成一个零点，抵消密勒电容引入的极点，从而提高放大器的带宽和相位裕度。
串联电阻可以提高放大器的稳定性，因为串联电阻会降低输入端的噪声增益，从而避免放大器出现自激振荡。